OpenAI의 다이어그램은 c² = 65 선택을 기반으로 하며 이는 1² + 8² = 65 또는 4² + 7² = 65로 충족될 수 있습니다. 즉, 그리드 간격이 1/√65인 경우 각 포인트는 (1,8), (4,7), (7,4), (8,1), (-1,8), (-4,7) 등 16개의 다른 포인트에서 1단위 떨어져 있습니다. c²의 값이 클수록(신중하게 선택하는 경우) 더 많은 정수 대각선이 가능하므로 더 많은 단위-거리 쌍이 가능해집니다.
그러나 c²가 그리드의 포인트 수에 비해 너무 크면 한 단위 떨어진 잠재적인 이웃 중 상당수가 그리드 외부에 있게 됩니다.
간단히 말해서, 우리는 충분히 크지만 너무 크지 않은 c²를 선택하고 싶습니다. Jacobi의 2제곱 정리를 포함한 정수 이론의 통찰력을 사용하여 Erdös는 최적의 크기의 원을 사용하면 단위-거리 쌍의 수가 점 수보다 빠르게 증가하지만 거의 증가하지 않는다는 것을 보여줄 수 있었습니다.
질문은 “더 잘할 수 있나요?”가 되었습니다. 상한을 찾기 위해 Erdös는 그래프 이론이라는 전혀 다른 수학 영역의 주장을 사용하여 단위 거리가 너무 길다는 것을 보여주었습니다. 그러나 그의 상한선은 그가 구성할 수 있는 최고의 하한선보다 훨씬 더 빠르게 증가합니다.
Erdös의 추측은 실제 최적이 상한보다 하한에 훨씬 더 가깝다는 것이었습니다. 그는 단위 거리 쌍의 최대 수가 점 수보다 약간 빠르게 증가할 것이라고 예측했지만 증명할 수는 없었습니다.
더 정확하게 말하면 Erdös는 단위 거리의 수가 n^(1+o(1))이 될 것이라고 추측했습니다. 즉, 충분히 큰 n의 경우 최대 단위 거리 수는 𝜖 > 0에 대해 n^(1+𝜖)보다 작습니다. 이는 동일한 일반 야구장 내에서 그의 하한 구성(일부 상수 C에 대해 n^(1 + C/(log log n)))보다 조금 더 빠르게 성장할 수 있습니다.
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